Ο Κουρτ Γκέντελ και το όνειρο του Λάιμπνιτς
Πρέπει να ομολογήσω ότι οι μαθηματικοί οφείλουμε χάρη στον Απόστολο Δοξιάδη ο οποίος μαζί με τον Έκτορα Κακναβάτο, τον Ντενίς Γκετζ, τον Άντριου Κράμεϋ κ.α. γκρέμισαν τα σινικά τείχη που χώριζαν τους κόσμους των μαθηματικών και της λογοτεχνίας. Και όχι μόνο γι’ αυτό. Με το ρεύμα της αποκαλούμενης «μαθηματικής λογοτεχνίας» -αν και η άξια του ονόματός της λογοτεχνία δεν έ χει ανάγκη από προσδιοριστικά επίθετα-, με το Θαλής και Φίλοι μαθητές, αναγνώστες αλλά και οι ίδιοι μαθηματικοί ανακαλύπτουν μια χαμένη ήπειρο, αφού γενιές ολόκληρες πήραν πτυχίο ανυποψίαστοι για την ιστορία των μαθηματικών. Προσπερνούσαν παπαγαλίζοντας θεωρήματα θεμελιώδη για την ιστορία και τη φιλοσοφία της επιστήμης τους, αγνοώντας για το τι κρατούσαν στα χέρια τους.
Το τελευταίο βιβλίο του «Από την παράνοια στους αλγόριθμους» έχει στο επίκεντρο μια κορυφαία αλλά παραγνωρισμένη προσωπικότητα, τον Κουρτ Γκέντελ , ο οποίος το 1931 ανέτρεψε τα μέχρι τότε δεδομένα στην περιοχή της Λογικής και των Μαθηματικών. Στο θεατρικό κείμενο με τίτλο Δέκατη έβδομη νύχτα η υπόθεση εκτυλίσσεται σε μια κλινική του Πρίνστον στα τέλη της δεκαετίας του ’70, όπου ο Γκέντελ, που πάσχει από παράνοια, αρνείται κάθε είδους τροφή φοβού μενος ότι θα το δηλητηριάσουν. Τα κύρια πρόσωπα, εκτός από τον Γκέντελ, είναι η διαιτολόγος Μέρι Πίρσον, που με όπλο την κ αθημερινή σοφία προσπαθεί να τον πείσει ότι πρέπει να φάει, κ αι ο Ντάβιντ Χίλμπερτ ο οποίος ε πιστημονικά βρί σκεται στην αντίπαλη όχθη. Βεβαίως, το μόνο πραγματικό γεγονός της Δέκατης έβδομης νύχτας είναι ο θάνατος του μεγάλου μαθηματικού από ασιτία στην κλινική. Τα υπόλοιπα είναι μια λογοτεχνική ανάπλαση. Ο Δοξιάδης επιλέγει, λοιπόν, εύστοχα, να αποτελεί το δράμα του πρωταγωνιστή μια μεταφορά του θεωρήματος της μη πληρότητας. Ο λογική του κορυφαίου θεμελιωτή της Λογικής, όπως και αυτή της διαιτολόγου, αποδεικνύονται αναποτελεσματικές. Η λογική δεν είναι παντοδύναμη.
Ο Γκέντελ είναι, ίσως, η πιο χαρακτηριστική περίπτωση από την τραγωδία, όπως την ονομάζει, της θεμελίωσης των μαθηματικών, κατά την οποία οι πέντε από τους δέκα μεγάλους πρωταγωνιστές είχαν ψυχικά ακραίες συμπεριφορές. Η δύσκολη γλώσσα των μαθηματικών απέτρεπε, συνήθως, ιστορικούς και φιλοσόφους να ασχοληθούν ιδιαίτερα μαζί τους. Έτσι, οι ιστορίες της επιστήμης γράφονταν, κυρίως, από διαπρεπείς απόμαχους μαθηματικούς, χωρίς τις αναγκαίες επιστημολογικές ωσμώσεις. Αυτό είχε ως συνέπεια να συντηρείται μια «ιδεολογία» -με την έννοια της ψευδούς συνείδησης του Αλτουσέρ- γύρω από τη φύση των μαθηματικών ως κορω νίδας των επιστημών και να κυριαρχεί μια πλατωνική αντίληψη. Το δοκίμιο με τη μορφή διαλόγου, που αποτελεί το τελευταίο μέρος του βιβλίου, είναι μια σημαντική συμβολή του Δοξιάδη η οποία το τοποθετεί την ιστορία των μαθηματικών στα επιστημονικά και κοινωνικά συμφραζόμενα κάθε εποχής.
Προτείνει μια περιοδολόγηση των μαθηματικών σε αντιστοιχία με τα φιλοσοφικά και αισθητικά ρεύματα της ιστορίας. Αρχίζει με τη θεοκεντρική φάση, την πυθαγόρεια πχ αντίληψη για τους αριθμούς ως θείες ενσαρκώσεις, ακολουθεί η κλασική με πρότυπο τη γεωμετρία του Ευκλείδη κατά την οποία η αλήθεια εδραιώνεται στην ανθρώπινη σκέψη και συνεχίζει με τη φάση του διαφωτισμού όπου έχουμε την εγκατάλειψη της αρχαίας παράδοσης και το άνοιγμα σε νέα πεδία με την αναλυτική γεωμετρία και τον απειροστικό λογισμό. Μέχρι εδώ ακολουθείται περίπου η συνοπτική περιοδολόγηση του Μπελ ( Βαβυλωνιακή, Ελληνική, Νευτώνεια). Η επόμενη περίοδος ονομάζεται φάση του Ρομαντισμού, όπου κατ’ αναλογία με το αισθητικό αυτό ρεύμα, το ιδανικό δεν είναι πια η συμμόρφωση στους κανόνες και τους δογματισμούς αλλά η φαντασία, η πρωτοτυπία και η δημιουργικότητα του ατόμου, οι οποίες επικρατούν ως αρετές και θα επιτρέψουν τη δημιουργία των μη ευκλείδειων γεωμετριών, αμφισβητώντας την έννοια της μοναδικής αλήθειας στα μαθηματικά. Η ιστορία κλείνει με τη φάση του μοντερνισ μού η οποία αντιστοιχεί στη μεγάλη περιπέτεια της θεμελίωσης. Ωστόσο, το ερμηνευτικό σχήμα με το οποίο προσεγγίζεται και αποτιμάται το καλλιτεχνικό αυτό κίνημ α, αναδεικνύοντας ως βασικές του πλευρές τον κομμουνισμό, τον φασισμό και τον ναζισμό μάλλον το αδικεί. Ο μαθηματικός μοντερνισμός αμφισβητεί ριζοσπαστικά όλο το οικοδόμημα και προσπαθεί να το θέσει σε νέες βάσεις. Στην προσπάθεια αυτή ο εικοσιτετράχονος Γκέντελ θα θέσει ένα αξεπέραστο όριο γκρεμίζοντας επιστημονικές ψευδαισθήσεις πολλών χρόνων.
Από τον 17ο αιώ να ο Λάιμπνιτς είχε συλλάβει την ιδέα μιας παγκόσμιας γλώσσας (characteristica universalis), η οποία θα ή ταν ικανή να εκφράσει ολόκληρη την ανθρώπινη σκέψη με μια γενική συμβολική μέ θοδο, ανάγοντας όλες τις αλήθειες σε ένα είδος υπολογισμού. Ο πάντα αισιόδοξος Λάιμπνιτς πίστευε ότι σε πέντε χρόνια «μερικοί σωστά επιλεγμένοι άνδρες» θα ήταν δυνατόν να το καταφέρουν. Θα είχε καταφέρει και ο ίδιος περισσότερα αν δεν ήταν τόσο άπληστος και δεν είχε αφιερώσει τη ζωή του στο να υπηρετεί πρίγκιπες.
Σ’ αυτόν τον δρόμο πολλά χρόνια αργότερα, το 1854, ο George Boole με τους «Νόμους της Σκέψης» κάνει ένα σημαντικό βήμα με τη συμβολική λογική, αλλά θα γίνουν περισσότερα με τον Φρέγκε ο οποίος υπήρξε ο θεμελιωτής της. Η θεωρία της συναγωγής τυποποιείται και η λογική, στην οποία μέχρι τον Καντ κυριαρχούσε η αριστοτελική αντίληψη, οργανώνεται με αξιωματικό τρόπο. Στις αρχές του 20ου αιώνα ο Μπέρτραντ Ράσελ, εκτός από φιλόσοφος γνωστός για τους κοινωνικούς του αγώνες και τις ερωτικές του περιπέτειες, στο Principia Mathematica θα επισημάνει με τα παράδοξά του τις αδυναμίες του Φρέγκε, αλλά θα διατηρήσει την πίστη στην αναγωγή των μαθηματικών στη λογική.
Στη μεγάλη περιπέτεια της θεμελίωσης των μαθηματικών το κύκνειο άσμα της αισιοδοξίας θα ακουστεί από τον Χίλμπερτ. Και μάλιστα με έναν θορυβώδη και αθεράπευτα βολονταριστικό τρόπο: «Πρέπει να μάθουμε, θα μάθουμε». Βασικός εκπρόσωπος της σχολής των φορμαλιστών θα προσπαθήσει να τα θεμελιώσει με ένα αυστηρό αξιωματικό σύστημα όπως ο Ευκλείδης, να διαχειριστεί τις ύποπτες έννοιες του απείρου αδιαφορώντας για το οντολογικό τους status και δίνοντας βαρύτητα στην εσωτερική συνέπεια μιας θεωρίας. Πίστεψε ότι τα μαθηματικά και η λογική αρκετά είχαν δοκιμαστεί στο Καθαρτήριο και διατείνονταν στους σκεπτικιστές ότι «Από τον παράδεισο του Κάντορ -ο οποίος όπως νόμιζε είχε εξημερώσει το άπειρο- κανείς δεν θα μας εκδιώξει».
Αυτή η μακρά πορεία, που ξεκίνησε από τον Λάιμπνιτς, θα ανακοπεί με τον Γκέντελ ο οποίος το 1931, οριστικά και αμετάκλητα, έδωσε ένα πλήγμα στον ανθρώπινο αγώνα για την κατάκτηση της γνώσης. Με το θεώρημα της μη πληρότητας έδειξε ότι σε κάθε γλώσσα πάντα θα υπάρχουν μη αποκρίσιμες προτάσεις, δηλαδή προτάσεις των οποίων η αλήθεια δεν μπορεί ούτε να αποδειχθεί ούτε να διαψευσθεί θέτοντας ένα αδυσώπητο όριο. Αν ο κόσμος υπάρχει για να καταλήξει σε ένα βιβλίο όπως έγραψε ο Μαλαρμέ, ο Γκέντελ έδειξε ότι αυτό το βιβλίο θα έχει πάντα κάποιες λευκές σελίδες.
Το δοκίμιο του Δοξιάδη, με γλαφυρό ύφος και στοχαστικό βάθος, είναι μια γοητευτική περιπλάνηση στην ιστορία της θεμελίωσης η οποία απομυθοποιεί την πλατωνική αντίληψη. Τα μαθηματικά δεν είναι αντικατοπτρισμοί αιώνιων αληθειών, αλλά ο σκληρός πυρήνας της ανθρώπινης σκέψης για την κατανόηση του κόσμου, με έντονες κοινωνικές πλευρές, μέσα στα ιδεολογικά και φιλοσοφικά ρεύματα της κάθε εποχής.
Το τελευταίο βιβλίο του «Από την παράνοια στους αλγόριθμους» έχει στο επίκεντρο μια κορυφαία αλλά παραγνωρισμένη προσωπικότητα, τον Κουρτ Γκέντελ , ο οποίος το 1931 ανέτρεψε τα μέχρι τότε δεδομένα στην περιοχή της Λογικής και των Μαθηματικών. Στο θεατρικό κείμενο με τίτλο Δέκατη έβδομη νύχτα η υπόθεση εκτυλίσσεται σε μια κλινική του Πρίνστον στα τέλη της δεκαετίας του ’70, όπου ο Γκέντελ, που πάσχει από παράνοια, αρνείται κάθε είδους τροφή φοβού μενος ότι θα το δηλητηριάσουν. Τα κύρια πρόσωπα, εκτός από τον Γκέντελ, είναι η διαιτολόγος Μέρι Πίρσον, που με όπλο την κ αθημερινή σοφία προσπαθεί να τον πείσει ότι πρέπει να φάει, κ αι ο Ντάβιντ Χίλμπερτ ο οποίος ε πιστημονικά βρί σκεται στην αντίπαλη όχθη. Βεβαίως, το μόνο πραγματικό γεγονός της Δέκατης έβδομης νύχτας είναι ο θάνατος του μεγάλου μαθηματικού από ασιτία στην κλινική. Τα υπόλοιπα είναι μια λογοτεχνική ανάπλαση. Ο Δοξιάδης επιλέγει, λοιπόν, εύστοχα, να αποτελεί το δράμα του πρωταγωνιστή μια μεταφορά του θεωρήματος της μη πληρότητας. Ο λογική του κορυφαίου θεμελιωτή της Λογικής, όπως και αυτή της διαιτολόγου, αποδεικνύονται αναποτελεσματικές. Η λογική δεν είναι παντοδύναμη.
Ο Γκέντελ είναι, ίσως, η πιο χαρακτηριστική περίπτωση από την τραγωδία, όπως την ονομάζει, της θεμελίωσης των μαθηματικών, κατά την οποία οι πέντε από τους δέκα μεγάλους πρωταγωνιστές είχαν ψυχικά ακραίες συμπεριφορές. Η δύσκολη γλώσσα των μαθηματικών απέτρεπε, συνήθως, ιστορικούς και φιλοσόφους να ασχοληθούν ιδιαίτερα μαζί τους. Έτσι, οι ιστορίες της επιστήμης γράφονταν, κυρίως, από διαπρεπείς απόμαχους μαθηματικούς, χωρίς τις αναγκαίες επιστημολογικές ωσμώσεις. Αυτό είχε ως συνέπεια να συντηρείται μια «ιδεολογία» -με την έννοια της ψευδούς συνείδησης του Αλτουσέρ- γύρω από τη φύση των μαθηματικών ως κορω νίδας των επιστημών και να κυριαρχεί μια πλατωνική αντίληψη. Το δοκίμιο με τη μορφή διαλόγου, που αποτελεί το τελευταίο μέρος του βιβλίου, είναι μια σημαντική συμβολή του Δοξιάδη η οποία το τοποθετεί την ιστορία των μαθηματικών στα επιστημονικά και κοινωνικά συμφραζόμενα κάθε εποχής.
Προτείνει μια περιοδολόγηση των μαθηματικών σε αντιστοιχία με τα φιλοσοφικά και αισθητικά ρεύματα της ιστορίας. Αρχίζει με τη θεοκεντρική φάση, την πυθαγόρεια πχ αντίληψη για τους αριθμούς ως θείες ενσαρκώσεις, ακολουθεί η κλασική με πρότυπο τη γεωμετρία του Ευκλείδη κατά την οποία η αλήθεια εδραιώνεται στην ανθρώπινη σκέψη και συνεχίζει με τη φάση του διαφωτισμού όπου έχουμε την εγκατάλειψη της αρχαίας παράδοσης και το άνοιγμα σε νέα πεδία με την αναλυτική γεωμετρία και τον απειροστικό λογισμό. Μέχρι εδώ ακολουθείται περίπου η συνοπτική περιοδολόγηση του Μπελ ( Βαβυλωνιακή, Ελληνική, Νευτώνεια). Η επόμενη περίοδος ονομάζεται φάση του Ρομαντισμού, όπου κατ’ αναλογία με το αισθητικό αυτό ρεύμα, το ιδανικό δεν είναι πια η συμμόρφωση στους κανόνες και τους δογματισμούς αλλά η φαντασία, η πρωτοτυπία και η δημιουργικότητα του ατόμου, οι οποίες επικρατούν ως αρετές και θα επιτρέψουν τη δημιουργία των μη ευκλείδειων γεωμετριών, αμφισβητώντας την έννοια της μοναδικής αλήθειας στα μαθηματικά. Η ιστορία κλείνει με τη φάση του μοντερνισ μού η οποία αντιστοιχεί στη μεγάλη περιπέτεια της θεμελίωσης. Ωστόσο, το ερμηνευτικό σχήμα με το οποίο προσεγγίζεται και αποτιμάται το καλλιτεχνικό αυτό κίνημ α, αναδεικνύοντας ως βασικές του πλευρές τον κομμουνισμό, τον φασισμό και τον ναζισμό μάλλον το αδικεί. Ο μαθηματικός μοντερνισμός αμφισβητεί ριζοσπαστικά όλο το οικοδόμημα και προσπαθεί να το θέσει σε νέες βάσεις. Στην προσπάθεια αυτή ο εικοσιτετράχονος Γκέντελ θα θέσει ένα αξεπέραστο όριο γκρεμίζοντας επιστημονικές ψευδαισθήσεις πολλών χρόνων.
Από τον 17ο αιώ να ο Λάιμπνιτς είχε συλλάβει την ιδέα μιας παγκόσμιας γλώσσας (characteristica universalis), η οποία θα ή ταν ικανή να εκφράσει ολόκληρη την ανθρώπινη σκέψη με μια γενική συμβολική μέ θοδο, ανάγοντας όλες τις αλήθειες σε ένα είδος υπολογισμού. Ο πάντα αισιόδοξος Λάιμπνιτς πίστευε ότι σε πέντε χρόνια «μερικοί σωστά επιλεγμένοι άνδρες» θα ήταν δυνατόν να το καταφέρουν. Θα είχε καταφέρει και ο ίδιος περισσότερα αν δεν ήταν τόσο άπληστος και δεν είχε αφιερώσει τη ζωή του στο να υπηρετεί πρίγκιπες.Σ’ αυτόν τον δρόμο πολλά χρόνια αργότερα, το 1854, ο George Boole με τους «Νόμους της Σκέψης» κάνει ένα σημαντικό βήμα με τη συμβολική λογική, αλλά θα γίνουν περισσότερα με τον Φρέγκε ο οποίος υπήρξε ο θεμελιωτής της. Η θεωρία της συναγωγής τυποποιείται και η λογική, στην οποία μέχρι τον Καντ κυριαρχούσε η αριστοτελική αντίληψη, οργανώνεται με αξιωματικό τρόπο. Στις αρχές του 20ου αιώνα ο Μπέρτραντ Ράσελ, εκτός από φιλόσοφος γνωστός για τους κοινωνικούς του αγώνες και τις ερωτικές του περιπέτειες, στο Principia Mathematica θα επισημάνει με τα παράδοξά του τις αδυναμίες του Φρέγκε, αλλά θα διατηρήσει την πίστη στην αναγωγή των μαθηματικών στη λογική.
Στη μεγάλη περιπέτεια της θεμελίωσης των μαθηματικών το κύκνειο άσμα της αισιοδοξίας θα ακουστεί από τον Χίλμπερτ. Και μάλιστα με έναν θορυβώδη και αθεράπευτα βολονταριστικό τρόπο: «Πρέπει να μάθουμε, θα μάθουμε». Βασικός εκπρόσωπος της σχολής των φορμαλιστών θα προσπαθήσει να τα θεμελιώσει με ένα αυστηρό αξιωματικό σύστημα όπως ο Ευκλείδης, να διαχειριστεί τις ύποπτες έννοιες του απείρου αδιαφορώντας για το οντολογικό τους status και δίνοντας βαρύτητα στην εσωτερική συνέπεια μιας θεωρίας. Πίστεψε ότι τα μαθηματικά και η λογική αρκετά είχαν δοκιμαστεί στο Καθαρτήριο και διατείνονταν στους σκεπτικιστές ότι «Από τον παράδεισο του Κάντορ -ο οποίος όπως νόμιζε είχε εξημερώσει το άπειρο- κανείς δεν θα μας εκδιώξει».
Αυτή η μακρά πορεία, που ξεκίνησε από τον Λάιμπνιτς, θα ανακοπεί με τον Γκέντελ ο οποίος το 1931, οριστικά και αμετάκλητα, έδωσε ένα πλήγμα στον ανθρώπινο αγώνα για την κατάκτηση της γνώσης. Με το θεώρημα της μη πληρότητας έδειξε ότι σε κάθε γλώσσα πάντα θα υπάρχουν μη αποκρίσιμες προτάσεις, δηλαδή προτάσεις των οποίων η αλήθεια δεν μπορεί ούτε να αποδειχθεί ούτε να διαψευσθεί θέτοντας ένα αδυσώπητο όριο. Αν ο κόσμος υπάρχει για να καταλήξει σε ένα βιβλίο όπως έγραψε ο Μαλαρμέ, ο Γκέντελ έδειξε ότι αυτό το βιβλίο θα έχει πάντα κάποιες λευκές σελίδες.
Το δοκίμιο του Δοξιάδη, με γλαφυρό ύφος και στοχαστικό βάθος, είναι μια γοητευτική περιπλάνηση στην ιστορία της θεμελίωσης η οποία απομυθοποιεί την πλατωνική αντίληψη. Τα μαθηματικά δεν είναι αντικατοπτρισμοί αιώνιων αληθειών, αλλά ο σκληρός πυρήνας της ανθρώπινης σκέψης για την κατανόηση του κόσμου, με έντονες κοινωνικές πλευρές, μέσα στα ιδεολογικά και φιλοσοφικά ρεύματα της κάθε εποχής.
